約数の和 σ(n)

約数の和に続いて今度は約数の和です。

自然数 n の全ての正の約数の総和を約数関数σ(n) で表します。

美しい。

タグ：約数の総和 σ(n)

約数の個数 d(n)

教科書ではあまり見かけない関数のグラフを紹介しようと思って書いた。

 

自然数nの約数の個数をd(n)で表す。

下がそのグラフ。

 

こういう関数はグラフにすると面白い。

nをもっと大きい数字の領域では・・・。

クリックで拡大できます。

nが素数の場合はd(n)=2。ではd(n)=3だったらnはどんな数字だろうか。それではd(n)=4だったら・・・。

この種の問題は高校で約数の個数や和は習うので比較的簡単にわかる。入試等でもたまに見かける問題。

 

数え上げるだけの単純で時間がかかるプログラム。十進BASIC。

---

DECLARE EXTERNAL FUNCTION div
INPUT N
FOR i=N TO N+3000
   PRINT i,div(i)
NEXT i
END
EXTERNAL FUNCTION div(x)
LET j=0
FOR k=1 TO x
   IF MOD(x,k)=0 THEN LET j=j+1
NEXT k
LET div=j
END FUNCTION

---

 

タグ：約数の個数 d(n) 十進BASIC

整数問題 ab-a-b

次の定理を証明しよう！ 

---

「互いに素な2つの自然数aとbがあるとき、ab-a-bより大きなすべての自然数は、0以上の整数x,yを使ってax+byの形に表せる。また、ab-a-bはこの形には表せない。」

---

数式ばかりでは問題の意味がわかりにくいのでまずは具体的に考えましょう。 

50円切手と80円切手の組み合わせで280円、290円、300円、310円、320円、330円を作ってみましょう。50×80-50-80=270なので、この定理が正しければ必ず50円切手と80円切手で目的の金額を組み合わせることができます。

280=50×4+80×1

290=50×1+80×3

300=50×6+80×0

310=50×3+80×2

320=50×0+80×4

確かに組み合わせることができます。定理は正しそうです。320より大きな10の倍数の金額でもすべて50円と80円の組み合わせで出来ます。

では270円の場合は？どんな組み合わせでもあることができません。

これも定理通りですね。それでは証明してみましょう。

 

 

証明準備中・・・

タグ：整数問題

整数の逆数和の問題

ある問題集から。

一般化していくと面白い漸化式が予想できたのでこの入試問題と共に紹介。

---

a,b,cは不等式a≦b≦cをみたす正の整数とする。

(1)を満たすa,bをすべて求めよ。

(2) を満たすa,b,cをすべて求めよ。

---

 この問題の一般化を試みる。

(1)は明らかににa=2,b=2しかありませんね。もしa=3だったらbは3以上でなければいけないし、1/b=2/3を満たす整数bは存在しませんので。 

 

以下準備中。

http://aozoragakuen.sakura.ne.jp/taiwa/taiwasen/egyptian/node1.html

青空学園数学科から

タグ：整数 整数の逆数和

合同式の威力 基本

---

2003^2003を7で割ったときの余りを求めよ。

---

合同式の基本的な問題。

解法

法7で考える。

2003を7で割ると余りが1なので

2003≡1  (mod 7)

合同式の基本性質のⅦより

2003^2003≡1＾2003  (mod 7)

1＾2003＝1なので

2003^2003≡1  (mod 7)

つまり、2003＾2003を7で割ったときのあまりは1である。

 

タグ：整数問題