体積を求める－その５

以前書いた問題の答えです。

補足の③での解答を示します。

半径r、高さhの円柱がある。

水色の部分の体積を灰色に示した切り方で求めます。

体積は

で求められることがわかります。

次に問題のS(x)を求めます。

上から見てθを下図のようにおきます。

図　上から見た図

面積を求めるため下のような作戦で求めてみます。

逆三角関数を用いて

ゆえに求める体積Vは

図　r=1,h=1のときのy=S(x)のグラフと求めるV(緑の面積)

ここで逆三角関数の積分が出てきましたが三角関数の微分の記事で書いたことを使いながら部分積分を実行します。例として

となるのでこれを用いて

となり今までの結果と同じ答えが得られました。

いろいろな解法が出来ておもしろいですね。

解法1

解法2

解法4

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