12月9日 三角グラフ

数学、微分積分。

センター物理。

センター地理。

英語、リスニング、英単語。

化学。

今日は、センター地理を中心に勉強しました。

模試の結果が返ってきました。さてこれからどうするか。

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地理を勉強すると良く三角グラフを見ます。勉強してふと考えてしまったので書きます。今日見たのは第一次産業から三次産業まで三つの軸があるグラフです。考えれば、面白いグラフですよね。3つの数値を空間で見るのではなく平面で見ることが出来るのですから。といっても条件がありますが。少し考えて見ましょう。

xyz空間で、s≧0,t≧0,u≧0をみたすs,t,uについて、ベクトルpを

p=sx+ty+uz  (ただし、s+t+u=1)

とします。

ここで、太字のx,y,zはx,y,z軸に平行な単位ベクトルです。

よく地理で見るのは目盛りが100パーセントまでですがここでは簡単のため、それぞれの要素の合計を1とします。もっとも閉区間[0,1]の範囲でなくても、[0,1]→[-∞,∞]となり、それぞれの実数が一対一に対応して全射な写像fを考えてやれば、0から100％でなくともいくらでも数字は拡張できます。

ここで考える三角グラフの三要素はそれぞれs,t,uで、もちろんx,y,zは線形独立ですから、ベクトルpのさす一点が一意的に決まります。xyz空間において、pベクトルは高校数学の知識から平面で正三角形です。これが三角グラフの正体というわけ。

ここまでだったらつまらないので一般化します。n次元ではどのようなことが分かるのか。

簡単のためまずは4次元空間で考えます。同様な条件で

p=ax+by+cz+dw  (a+b+c+d=1)

さて、この条件下でベクトルpはどのような図形を表すか。三次元空間からの自然な発想で正四面体でしょうか。調べてみたいです。正三角形のときは、ベクトルpからそれぞれの軸への射影でその値が分かりましたが、正四面体内のpが何を示すのか考えるとちょっと困ります。正四面体ですから軸になりうる辺が6つもあります。四次元空間内の三次元立体ですから少々考えにくい。ここまで、さらさらーと書いたので、ちょっと勘違いとかあるかもしれない。

もう少し考えてみることがありそうです。受験終わって覚えていたらちょっと調べてみます。

タグ：三角グラフ 日記

コメント 2

いつもながら超受験生級ですね。ベクトルを矢印でなくふと文字で書いているし、全射等の集合論、位相幾何学の言葉を使いこなしていらっしゃる。すごい！すごすぎです。

大学に行くと、才能を余して数学を遊びに費やし、研究に生かさない人もいるし、あまり理解力がなくても愚直に１つの研究の取り組み成果を挙げる人。いろいろですね。前者は本当にもったいない。

by yablinsky (2010-12-11 02:09) 

yablinskyさん、コメント＆nice!ありがとうございます。
まだ、大学がどのようなところなのかわかりません、まして数学が私にとってどのようなものかもわかりません。それに数学もどんな学問なのかもそれほど分かっていません。
しかし、なるべく広い視点を持って数学を勉強、研究したいと考えています。
by ミノ〜＋ (2010-12-11 23:13)