二重積分で体積を求める 解法４

問題、「体積を求める」の別解。

二重積分で体積を求めます。

座標を下のように決めます。問題文で円柱底面の半径をrとしましたがここでは極座標(r,θ)と混同するので底面の半径をRとします。

二重積分は図の灰色の棒を集めて体積を求めるイメージ。

そのため上図の座標で２変数関数z=f(x,y)と領域Dについて考えます。

このとき求める体積Vは

で求められますね。

円が関わるので極座標への座標変換(x,y)→(r,θ)が有効です。

すなわち

 

図でみると領域Dは領域D'に変換されます。

図　領域 D

を変換して

図　領域 D'

よって求める体積Vはヤコビアン|J|=rに注意して

計算少なっ！ 

もちろん答えは今までと同じ。 

おそらく今までの解法の中でもっとも簡潔で早い解法だと思います。

 

今までこんなに一問をいろんな解き方で解いたことは無かったと思う・・・。

 

解法1

解法2

解法3

さらに別解あり？！

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注：高校生や受験生の人へ、二重積分は高校段階では習いません。

ですからこんな解法があるんだなぁ程度で見てください。

決して数学科を目指さない限り深入りはしないでください。

受験で痛い目に遭うかもしれませんので。（経験者は語る（苦笑））。

残念ながら今の日本では新しく自分から学ぶことは重要視されない受験制度になっていますから。

大学での楽しみにとっておきましょう。

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タグ：二重積分 体積 積分 微積分 変数変換