逆三角関数の微分

の微分を求めます。(arcsinxの微分)

図　y=arcsin x

 

元の関数y=sinxの微分は知っている。 

ですから公式、逆関数の微分

を使います。（証明は教科書等で確認しよう）

 

だから、

 ここでcos yについてわかりやすいよう図形的にみてみましょう。

つまりy=arcsin xにおいてcos yを求めます。

図形はこの通りですね。

yの値域からy≧0に注意して。（グラフを見れば傾きが常に正なのでここからも明らか）

三平方の定理から（もしくは図を使わずにsin^2 θ + cos^2 θ =1から求めてもよい）

ゆえに

以上から、

 

cos^-1(x)も同様に

これより、

なので

定数(constant)をとります。x=0を代入してもとめると、重要性質

が得られます。次はタンジェント。

y=tan^-1(x) とすると、その微分は、

微分はこれですべて終了。

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今度は逆正弦関数と逆正接関数の関係

式で求めてもいいですが上の図から

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これで「体積を求める」の解法③の準備が整いました。

 

 

 

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